Matematik Mühendisliği Yüksek Lisans Programı
Ders Listesi
Zorunlu Dersler
Differential Equations I
Algebra I
Differential Geometry I
Seminer
Uzmanlık Alan Dersi
Reel Analiz I
Seminer
Uzmanlık Alan Dersi
Seçmeli Dersler
Integral Equations
Sayısal Analiz I
Special Functions
Integral Equations
Kompleks Analiz
Numerical Linear Algebra
Integration on Manifold
Asymptotic and Perturbation Methods
Partial Differential Equations I
Ders İçerikleri
Differential Equations I (Diferansiyel Denklemler I)
- Lineer Sistemler: Köşegenleştirme, Üstel Operatörler, Düzlemde Lineer Sistemler, Kompleks ve Çok Katlı Özdeğerler, Jordan Formları, Stabilite Teorisi
- Lineer Olmayan Sistemler: Temel Varlık-Teklik Teoremi, Diferansiyel Denklem ile Tanımlanan Akı, Lineerleştirme, Karalı Manifold teoremi, Hartman-Grobman Teoremi, Stabilite ve Liapunov Fonksiyonu, Merkezsel-Manifold Teoremi, Normal Form Teorisi, Gradyan ve Hamilton Sistemleri
Algebra I (Cebir I)
Gruplar, alt gruplar, normal alt gruplar, bölüm grupları, grup homomorfizmaları ve otomorfizmaları, Cayley teoremi ve Permutasyon grupları, Grup serileri, Çözülebilir gruplar, Nilpotent gruplar, Sylow teoremleri, Halkalar, Bölüm halkaları, İdealler, Tamlık bölgesi, Euklid halkaları, Polinom halkalar
Differential Geometry I (Diferansiyel Geometri I )
Topolojik Uzaylar, Çarpım topolojisi, metrik topoloji, bölüm topolojisi, irtibatlılık, kompaktlık. Diferansiyellenebilir manifoldlar. Teğet uzay, vektör alanları. Lie parantezi, ters fonksiyon teoremi. Alt manifoldlar. Hiperyüzeyler, Euclidean uzayın standart konneksiyonu. Weingarten ve Gauss tasvirleri. Tensörler ve diferansiyel formlar. Lie Türevi. Riemann manifoldları , Riemann alt manifoldları, Riemann konneksiyonları ve Riemann eğriliği.
Seminer
Seminerler; öğretim elemanları, çağrılı konuşmacılar ve derse kayıtlı öğrenciler tarafından verilir. Öğrenci Sunumları, tez çalışmaları kapsamında da olabilir.
Uzmanlık Alan Dersi
Danışmanın yönetimindeki tez seviyesinde olan tüm yüksek lisans öğrencilerinin çalışma konularının ve bu konulardaki yeni gelişmelerin değerlendirilmesi.
Reel Analiz I
Kardinal sayı kavramı. Sayılabilir ve kontinyum kuvvet kavramları. Kardinal sayıların karşılaştırılması ve ilgili teoremler. Limit supremum ve limit infimum kavramları. R^n?de Lebesgue ölçüsü. Ölçülebilir cümleler ve özellikleri. Dış ve iç ölçü kavramları. Ölçülemeyen cümleler. Borel cümleleri. Ölçülebilir fonksiyonlar ve ilgili teoremler. Littlewood?un 3 temel ilkeleri. Lebesgue integralı ve özellikleri. Lebesgue ve Riemann integrallerinin karşılaştırılması. Lebesgue, Fatou ve Levi teoremleri. Çarpım ölçüsü. Fubini teoremi. Fonksiyonlar uzaylarında temsiletme teoremleri.
Seminer
Seminerler; öğretim elemanları, çağrılı konuşmacılar ve derse kayıtlı öğrenciler tarafından verilir. Öğrenci Sunumları, tez çalışmaları kapsamında da olabilir.
Uzmanlık Alan Dersi
Danışmanın yönetimindeki tez seviyesinde olan tüm yüksek lisans öğrencilerinin çalışma konularının ve bu konulardaki yeni gelişmelerin değerlendirilmesi.
Integral Equations (İntegral Denklemler)
Tanımlar ve ilk bilgiler, Ayrılabilen Çekirdekli Integral Denklemler, Ardışık Yaklaştırmalar Yöntemi, Klasik Fredholm Teorisi. Adi Diferansiyel Denklemlere Uygulamalar, Kısmi Diferansiyel Denklemlere Uygulamalar, Simetrik Çekirdekler, Integral Dönüşüm Yöntemleri, Karışık Sınır Değer Problemlerine Uygulamalar, Integral Denklemlerde Tedirgeme Yöntemleri.
Sayısal Analiz I
Parabolic kısmi türevli diferansiyel denklemler için sonlu farklar metodu, Bir boyutta açık ve kapalı metodlar, Hatanın Fourier analizi, İki ve üç boyutta parabolik denklemler, Operatör ayrıştırması (ADI) metodu, Hiperbolik kısmi türevli diferansiyel denklemler için sonlu farklar metodu, CFL koşulu, Upwind şeması, Lax-Wendroff şeması, Hiperbolic sistemler için upwind şemaları, Godunov metodu, Uyumluluk, yakınsama ve stabilite kavramları, Lax eşdeğerlik kavramları, Eliptik kısmi türevli diferansiyel denklemler için sonlu farklar metodu, Özel konular.
Special Functions (Özel Fonksiyonlar)
Gamma ve Beta Fonksiyonları; Gamma fonksiyonu (Weierstrass), Gamma fonksiyonu için Euler çarpımı ve Eular integrali, Beta fonksiyonu. Gamma fonksiyonunun büyük 1 z 1 ler için davranışı. Hipergeometrik Fonksiyon; F (a,b;c;z) fonksiyonu, integral gösterilimi, F (a,b;c;z)?nin a,b,c parametrelerinin fonksiyonu olarak davranışı, F (a,b;c,1)?in hesaplanması, bitişik fonksiyon ilişkileri, Hipergeometrik diferansiyel denklem, lineer ve kuadratik dönüşümler. Genelleştirilmiş Hipergeometrik Fonksiyonlar, p F q fonksiyonu, bazı elemanter fonksiyonlarının p F q olarak ifadesi, p F q?nun integral gösterilimi, diferansiyel denklem, bitişik fonksiyon ilişkileri. Bessel Fonksiyonları, tanım, Bessel diferansiyel denklemi , rekürans bağıntıları, üretici fonksiyon, integral gösterilim, trigonometrik fonksiyonlarla ilişki, modifiye Bessel fonksiyonları, Neumann polinomları ve Neumann serisi. Confluent Hipergeometrik Fonksiyon; tanım, Kummer?in 1. Ve 2. Formülleri. Legendre Polinomları, üretici fonksiyon, rekürans bağıntıları, Legendre diferansiyel denklemi, Rodrigues formülü, 2 F1 olarak Legendre polinomları, integral gösterilim, analitik fonksiyonların Legendre polinomları cinsinden seri açılımı.
Integral Equations (İntegral Denklemler)
Tanımlar ve ilk bilgiler, Ayrılabilen Çekirdekli Integral Denklemler, Ardışık Yaklaştırmalar Yöntemi, Klasik Fredholm Teorisi. Adi Diferansiyel Denklemlere Uygulamalar, Kısmi Diferansiyel Denklemlere Uygulamalar, Simetrik Çekirdekler, Integral Dönüşüm Yöntemleri, Karışık Sınır Değer Problemlerine Uygulamalar, Integral Denklemlerde Tedirgeme Yöntemleri.
Kompleks Analiz
Kompleks integrasyon, kuvvet serileri, sonsuz çarpımlar ve tam fonksiyonlar,temel teoremler.Analitik devam. Analitik fonksiyonların yerel davranışı. Gamma fonksiyonları, Stirling teoremi. Çok bağlantılı bölgelerin tasvirleri. Univalent fonksiyonlar ve ilgili teoremler. Borel-Caratheodory eşitsizlikleri. Poisson-Jensen formülü. Tam ve meremorfik fonksiyonların elementer teorisi. Eliptik fonksiyonlar teorisine giriş.
Numerical Linear Algebra (Sayısal Lineer Cebir)
Vektör ve matris normları, sayısal lineer cebirin standard problemleri, lineer sistemlerin direkt çözüm metodları, Gauss eliminasyonu, LU ayrıştırması, QR ayrıştırması, lineer sistemler için ardışık çözüm metodları, Jacobi metodu, Gauss-Seidel metodu, Rölaksasyon metodu, özdeğer problemleri için metodlar, Multigrid.
Integration on Manifold (Manifoldlarda Integrasyon)
Kısaca diferansiyel , ters ve kapalı fonksiyon teoremleri , tensörler , diferensiyel formlar , zincirler üzerinde integrasyon , manifoldlarda integrasyon , Stokes? teoremi
Asymptotic and Perturbation Methods (Asimptotik ve Pertürbasyon Metodları )
Introduction to perturbation theory, Regular perturbations, Singular perturbation techniques, Method of multiple scales, Method of averaging, Methods of the WKB type, Asymptotic approximations of integrals, Stationary phase approximation
Partial Differential Equations I (Kısmi Diferansiyel Denklemler I)
- Birinci Mertebe Denklemler: Kuazilineer Denklemler için Cauchy Problemi, Genel Lineer Olmayan Denklemler, Karakteristikler Yöntemi
- Yüksek Mertebe Denklemler : Cauchy Problemi, Cauchy-Kovalevski Teoremi, Sınıflandırma, Birinci Mertebe Sistemler, Lineer Denklemler, Genelleştirilmiş Çözümler, Distribüsyonlar, Temel Çözüm
- Dalga Denklemi: Küresel Ortalama, Cauchy Problemine Uygulama, Kirchhoff formülü, Duhamel İlkesi, Enerji Yöntemleri
- Laplace Denklemi: Dirichlet ve Neumann Problemi, Green Özdeşlikleri, Teklik, Maksimum İlkesi, Temel Çözüm, Green Fonksiyonu ve Poisson Çekirdeği, Yarı-Uzayda ve Küre üzerinde Dirichlet Problemi, Harmonik Fonksiyonların Özelikleri, Özdeğerler
- Isı Denklemi: Sınırlı bir Bölgede Isı Denklemi, Başlangıç Değer Problemi, Temel Çözüm, Isı Çekirdekleri, Regülerlik ve Benzerlik
